Asymptotics of accessibility sets along an abnormal trajectory

We describe precisely, under generic conditions, the contact of the accessibility set at time T with an abnormal direction, first for a single-input affine control system with constraint on the control, and then as an application for a sub-Riemannian system of rank 2. As a consequence we obtain in sub-Riemannian geometry a new splitting-up of the sphere near an abnormal minimizer γ into two sectors, bordered by the first Pontryagin’s cone along γ, called the L∞-sector and the L-sector. Moreover we find again necessary and sufficient conditions of optimality of an abnormal trajectory for such systems, for any optimization problem. Résumé. On décrit précisément, sous des conditions génériques, le contact des ensembles accessibles en temps T avec une direction anormale, tout d’abord pour un système de contrôle affine monoentrée avec contrainte sur le contrôle, puis comme application pour un système sous-Riemannien de rang 2. Comme conséquence on obtient en géométrie sous-Riemannienne un nouveau découpage de la sphère au voisinage d’une anormale minimisante γ en deux secteurs appelés secteur L∞ et secteur L, délimités par le premier cône de Pontryagin le long de γ. De plus on retrouve des conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité pour une trajectoire anormale de tels systèmes, pour un problème d’optimisation quelconque. 1991 Mathematics Subject Classification. ???, ??? The dates will be set by the publisher.